SỬ DỤNG ĐA THỨC LAGRANGE ĐỂ NỘI SUY TÀI LIỆU
QUAN TRẮC VÀ DỰ BÁO ĐỘNG THÁI NƯỚC DƯỚI ĐẤT

ĐẶNG HỮU ƠN¹, NGUYỄN CHÍ NGHĨA²

¹Văn phòng Hội đồng Đánh giá TLKS, Trần Hưng Đạo, Hà Nội
²Đại học Mỏ - Địa chất, Đông Ngạc, Từ Liêm, Hà Nội

Tóm tắt: Đa thức Lagrange đã được sử dụng phổ biến rộng rãi để tìm mối quan hệ giữa hàm và biến số từ các tài liệu thí nghiệm hoặc quan sát thực tế. Khi chỉnh lý tài liệu quan trắc động thái rất cần phải xác định quy luật biến đổi của các yếu tố động thái theo không gian và thời gian. Để giải quyết vấn đề này các tác giả đã sử dụng phép nội suy bằng đa thức Lagrange trên cơ sở những số liệu thực nghiệm. Đa thức Lagrange có dạng tổng quát như sau:

P_n(x) =

Sử dụng đa thức Lagrange có thể xác định được hàm số biểu diễn quan hệ giữa mực nước và khoảng cách từ các lỗ khoan quan sát đến sông. Từ kết quả nghiên cứu các tác giả đã rút ra kết luận:

- Khi chỉnh lý tài liệu quan trắc động thái nước dưới đất (NDĐ), phương pháp nội suy Lagrange cho phép xác định quy luật biến đổi của các yếu tố động thái (cao trình mực nước, lưu lượng, nhiệt độ, thành phần hoá học của nước...) theo thời gian, không gian, cũng như theo sự biến đổi của các nhân tố ảnh hưởng đến các yếu tố động thái.

- Kết hợp phương pháp nội suy Lagrange với phương pháp thống kê cho phép ngoại suy khuynh hướng để dự báo sự phát triển của động thái NDĐ theo thời gian và không gian.

I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Tài liệu quan trắc động thái nước dưới đất (NDĐ) là một trong những công cụ quản lý tài nguyên nước, định hướng sử dụng hợp lý NDĐ và bảo vệ chúng. Quá trình xử lý tài liệu thường cần xác định hàm số H = f(x), qua các giá trị quan trắc được H₀, H₁….H_n ứng với các giá trị x₀, x₁….x_n trong khoảng xác định [a, b].

Thí dụ có một tuyến quan trắc mực nước ngầm gồm 4 lỗ khoan (0, 1, 2,3) bố trí vuông góc với sông, cách sông tương ứng - x₀, x₁, x₂, x₃, tại một thời điểm đã quan trắc được cao trình mực NDĐ ở các lỗ khoan - H₀, H₁, H₂, H₃, yêu cầu xác định hàm H = f(x)? hay tại một lỗ khoan đã quan trắc được cao trình mực nước H₀, H₁, H₂, H₃ ở các thời điểm t₀, t₁, t₂, t₃, yêu cầu xác định hàm H = f(t).

Các yêu cầu nêu trên có thể được giải quyết khi sử dụng phép nội suy bằng đa thức Lagrange [3].

II. THÀNH LẬP ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Giả sử có chuỗi quan trắc tại (x₀, x₁…. x_n) biết (y₀, y₁ … y_n). Hãy tìm cách xây dựng đa thức:

P_n(x) = a₀xⁿ + ax^{n - 1} + … + a_{n - 1}x + a_n (1)

thoả mãn điều kiện:

P_n(x_i) = f(x_i) = y_i ; i = (2)

Ở đây: P_n(x) - được gọi là đa thức nội suy của hàm f(x).

x_i, i = - các nút nội suy.

(a₀, a...a_n) - giá trị tham số xác định được khi thành lập hàm Lagrange.

Về mặt hình học có nghĩa là tìm đường cong đi qua các điểm M_i(x_i, y_i) đã biết (i = ) của đường cong y = j(x) (hình 1).

y = P_n(x) = a₀xⁿ + ax^{n – 1} + ….. + a_{n – 1}x + a_n

Hình 1. Đường cong y = j(x)

Sau đó dùng đa thức P_n(x) thay cho hàm số f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x # x₁ (i = ). Nếu điểm x(x₀, x_n) thì phép tính trên gọi là phép nội suy. Nếu x (x₀, x_n) gọi là phép ngoại suy.

Cách thành lập đa thức trên đã được trình bày trong các công trình [1, 2, 4].

Giả sử trên [a, b] cho (n + 1) giá trị khác nhau của biến số: x₀, x₁ …. x_n và biết những giá trị tương ứng của hàm số y = f(x)

f(x_i) = y_i ; i = (3)

Lagrange đã xây dựng đa thức nội suy Pn(x) thoả mãn điều kiện (4) như sau:

P_n(x_i) = y_i ; i = (4)

Trước hết xây dựng đa thức Ii(x) thoả mãn điều kiện:

Vì đa thức I_i(x) phải tìm triệt tiêu tại n điểm x₀, x₁ …. x_{i – 1} , x_{i + 1} …. x_n, nên I_i(x) có thể viết dưới dạng :

I_i(x) = c_i(x_i – x₀) (x_i – x₁) …. (x_i – x_{i – 1})
(x_i – x_{i + 1}) …. (x_i – x_n) (6)

ở đây c_i là hằng số phải tìm.

Đặt x = x_i trong (6) và để ý đến điều kiện (5) ta có:

I_i(x_i) = c_i(x_i – x₀) (x_i – x₁) …. (x_i – x_{i – 1}) (x_i – x_{i + 1}) …. (x_i – x_n) (7)

Từ đó rút ra:

(8)

Thay (8) vào (6) ta được:

I_i(x) = (9)

Đa thức trên được gọi là đa thức Lagrange cơ bản.

Bây giờ ta xét đa thức sau:

P_n(x) = (10)

Bậc của đa thức P_n(x) không cao hơn n và do điều kiện (5), ta có:

P_n(x_j)= (11)

Hình 2. Tuyến các lỗ quan trắc

Vậy đa thức P_n(x), xác định bởi (10) là đa thức nội suy phải tìm. Thay biểu thức I_i(x) từ (10) vào (11) nhận được:

Hình 2. Tuyến các lỗ khoan quan trắc

P_n(x) = (12)

Đây cũng là đa thức nội suy Lagrange.

Với n = 1, n = 2, đa thức Lagrange có dạng:

P₁(x) = (13)

P₂(x) = (14)

III. VÍ DỤ NỘI SUY TÀI LIỆU QUAN TRẮC ĐỘNG THÁI NDĐ BẰNG ĐA THỨC LAGRANGE

Để nghiên cứu động thái mực nước gần sông người ta đã thiết lập một tuyến các lỗ khoan quan trắc vuông góc với sông (Hình 2). Khoảng cách từ các lỗ khoan đến sông lần lượt là: x₀ – 10 m, x₁ – 20 m, x₂ – 30 m, x₃ – 40 m. Cao trình mực nước tại các lỗ khoan vào một thời điểm nào đó như sau : H₀ – 17 m, H₁ – 27,5 m, H₂ – 76 m, H₃ – 210,5 m.

Hãy nội suy khuynh hướng dâng cao mực nước bằng đa thức Lagrange và nội suy giá trị dâng cao tại x = 25 m.

Ở đây n = 3 nên đa thức nội suy là một đa thức bậc 3. Theo (12) ta có:

Thay số vào biểu thức trên ta có:

Với x = 25 m từ phương trình trên tính được H = 44 m.

KẾT LUẬN

Khi chỉnh lý tài liệu quan trắc động thái NDĐ, phương pháp nội suy Lagrange cho phép xác định quy luật biến đổi của các yếu tố động thái (cao trình mực nước, lưu lượng, nhiệt độ, thành phần hoá học của nước...) theo thời gian, không gian, cũng như theo sự biến đổi của các nhân tố ảnh hưởng đến các yếu tố động thái.

Kết hợp phương pháp nội suy Lagrange với phương pháp thống kê cho phép ngoại suy khuynh hướng để dự báo sự phát triển của động thái NDĐ theo thời gian và không gian.

VĂN LIỆU

1. Dương Thuỷ Vỹ, 2002. Giáo trình phương pháp tính. Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, tr. 92 - 111.

2. Nguyễn Chí Long, 2003. Phương pháp tính. Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, tr. 73 - 100.

3. Stengelov R.S. và nnk, 1994. Tính toán thuỷ động lực trên máy tính điện tử. Nxb MGU Moskva, tr. 7 - 79 (tiếng Nga).

4. Tạ Văn Đĩnh, 2003. Phương pháp tính. Nxb Giáo dục, Hà Nội, tr. 66 - 77